Autoregressiva glidande medelvärde autokorrelation

Syfte: Kontrollera Randomness Autocorrelation plots (Box och Jenkins, s. 28-32) är ett vanligt använt verktyg för att kontrollera slumpmässighet i en dataset. Denna slumpmässighet bestäms genom att beräkna autokorrelationer för datavärden vid olika tidsfördröjningar. Om slumpmässigt skulle sådana autokorrelationer vara nära noll för alla tidsfördröjningar. Om icke-slumpmässigt, kommer en eller flera av autokorrelationerna att vara signifikant icke-noll. Dessutom används autokorrelationsplaner i modellidentifieringssteget för Box-Jenkins autoregressiva, glidande genomsnittliga tidsseriemodeller. Autokorrelation är bara en åtgärd av slumpmässighet Observera att okorrelerade inte nödvändigtvis betyder slumpmässig. Data som har betydande autokorrelation är inte slumpmässig. Däremot kan data som inte visar signifikant autokorrelation fortfarande uppvisa icke-slumpmässighet på andra sätt. Autokorrelation är bara ett mått på slumpmässighet. I samband med modellvalidering (vilket är den primära typen av slumpmässighet vi dicuss i Handboken) är kontroll av autokorrelation typiskt ett tillräckligt slumpmässigt test eftersom resterna från en dålig monteringsmodell tenderar att visa icke-subtil slumpmässighet. Vissa tillämpningar kräver dock en mer noggrann bestämning av slumpmässighet. I dessa fall tillämpas ett batteri av test, vilket kan innefatta kontroll av autokorrelation, eftersom data kan vara slumpmässigt på många olika och ofta subtila sätt. Ett exempel på var en mer noggrann kontroll för slumpmässighet behövs skulle vara att testa slumptalsgeneratorer. Provplott: Autokorrelationer ska vara nära noll för slumpmässighet. Sådan är inte fallet i det här exemplet och sålunda slår slumpmässigt antagande bort. Denna provautokorrelationsplot visar att tidsserierna inte är slumpmässiga utan snarare en hög grad av autokorrelation mellan intilliggande och närliggande intilliggande observationer. Definition: r (h) mot h Autokorrelationsintervall bildas av vertikal axel: Autokorrelationskoefficient där Ch är autokovariansfunktionen och C0 är variansfunktionen Observera att R h är mellan -1 och 1. Observera att vissa källor kan använda Följande formel för autokovariansfunktionen Även om denna definition har mindre förspänning har formuleringen (1N) några önskvärda statistiska egenskaper och är den form som oftast används i statistiklitteraturen. Se sidorna 20 och 49-50 i Chatfield för detaljer. Horisontell axel: Tidsfördröjning h (h 1, 2, 3.) Ovanstående rad innehåller också flera horisontella referenslinjer. Mellanlinjen är noll. De övriga fyra linjerna är 95 och 99 konfidensband. Observera att det finns två distinkta formler för att skapa förtroendeband. Om autokorrelationsplanen används för att testa för slumpmässighet (dvs det finns inget tidsberoende i data) rekommenderas följande formel: där N är provstorleken, är z den kumulativa fördelningsfunktionen för normal normalfördelning och (alfa ) Är signifikansnivån. I detta fall har konfidensbanden en fast bredd som beror på provstorleken. Detta är den formel som användes för att generera förtroendeband i ovanstående diagram. Autocorrelation plots används också i modellidentifieringssteget för montering av ARIMA-modeller. I detta fall antas en glidande genomsnittsmodell för data och följande förtroendeband ska genereras: där k är lagret, N är provstorleken, z är den kumulativa fördelningsfunktionen för normal normalfördelning och (alfa) är Signifikansnivån. I det här fallet ökar konfidensbanden när fördröjningen ökar. Autokorrelationsplotten kan ge svar på följande frågor: Är data slumpmässigt En observation relaterad till en närliggande observation Är en observation relaterad till en observation två gånger borttagen (etc.) Är den observerade tidsserien vitt brus Är de observerade tidssekvenserna sinusformiga Är den observerade tidsserien autoregressiv Vad är en lämplig modell för de observerade tidsserierna Är modellen giltig och tillräcklig Är formuläret ssqrt giltigt Betydelse: Säkerställa validitet av tekniska slutsatser Randomness (tillsammans med fast modell, fast variation och fast distribution) är Ett av de fyra antaganden som typiskt ligger till grund för alla mätprocesser. Slumpmässigt antagande är kritiskt viktigt av följande tre anledningar: De flesta standardstatistikprov beror på slumpmässighet. Giltigheten av test slutsatserna är direkt kopplad till giltigheten av slumpmässigt antagande. Många vanligen använda statistiska formler beror på slumpmässigt antagande, den vanligaste formeln är formeln för att bestämma standardavvikelsen för provmedlet: där s är standardavvikelsen för data. Även om det är tungt använd, har resultaten från att använda denna formel inget värde om inte slumpmässigt antagande innehas. För univariata data är standardmodellen Om data inte är slumpmässiga, är denna modell felaktig och ogiltig, och uppskattningarna för parametrarna (som konstanten) blir oanständiga och ogiltiga. Kort sagt, om analytikern inte kontrollerar slumpmässighet, blir giltigheten för många av de statistiska slutsatserna misstänkt. Autocorrelation plot är ett utmärkt sätt att kolla på sådan slumpmässighet. Ekonomisk teoriSeriell korrelation Det finns gånger, speciellt i tidsseriedata, att CLR-antagandet om c (rt t) 0, epsilon) 0 är bruten. Detta är känt inom ekonometri som seriell korrelation eller autokorrelation. Det betyder att c o r r (t. T 1) 0, epsilon) neq 0 och det finns ett mönster över felvillkoren. Felvillkoren fördelas sedan inte självständigt över observationerna och är inte strikt slumpmässiga. Exempel på autokorrelationsredigering När felperioden är relaterad till föregående felperiod kan den skrivas i en algebraisk ekvation. T t 1 u t rho epsilon u var är autokorrelationskoefficienten mellan de två störningsvillkoren, och du är störningsperioden för autokorrelationen. Detta är känt som en autoregressiv process. 1 lt c r r (t. T 1) lt 1, epsilon) lt1 U behövs inom ekvationen eftersom även om felperioden är mindre slumpmässig har den fortfarande en liten slumpmässig effekt. Seriell korrelation av Nth Order Redigera autoregressiv modell Redigera Första order Autoregressive Process, AR (1). Det här är känt som första ordens autogegivning på grund av felperioden endast beroende på föregående felperiod. Nth order Autoregressive Process, AR (n). T 1 t 1 2 t 2 ntnut rho epsilon rho epsilon cdots rho epsilon u Rörlig genomsnittsmodell Redigera Noteringen MA (q) avser den rörliga genomsnittsmodellen för order q: X tti 1 qiti mu varepsilon summa theta varepsilon, där 1 . Q är parametrarna för modellen, är förväntan på X t (antas ofta lika med 0) och t. T 1. Är återigen vita brusvillkor. Den rörliga genomsnittsmodellen är i huvudsak ett ändlöst impulssvarfilter med ytterligare tolkning placerad på den. Autoregressivemoving-average model Redigera Notationen ARMA (s. Q) refererar till modellen med p autoregressiva termer och q glidande medelvärden. Denna modell innehåller AR (p) och MA (q) - modellerna, X tc t i 1 p i X t i i 1 q i t i. Cvarepsilon summa varphi X summa theta varepsilon. Orsaker till autokorrelation Redigera c o r r (t 1) 0, epsilon) neq 0 Spatial autokorrelation uppstår när de två felen är speciellt andor geografiskt relaterade. I enklare termer är de bredvid varandra. Exempel: St Pauls stad har en spjut av brottslighet och så anställer de ytterligare polis. Följande år fann de att brottsfrekvensen minskade avsevärt. Förvånansvärt fann staden i Minneapolis, som inte hade justerat sin polisstyrka, att de har ökat brottsfrekvensen under samma period. Obs! Denna typ av autokorrelation sker över tvärsnittsprover. Tröghetstid för att justera Detta förekommer ofta i Macro, tidsseriedata. US-räntan ökar oväntat och det finns därmed en växelkursförändring med andra länder. Att nå en ny jämvikt kan ta lite tid. Förlängda inflytanden Detta är igen en makro, tidsseriefråga som handlar om ekonomiska chocker. Nu förväntas den amerikanska räntan öka. De tillhörande växelkurserna kommer långsamt att anpassas fram till dess att Federal Reserve har offentliggjort och kan överväga jämvikten. Data SmoothingManipulation Att använda funktioner för att släta data kommer att medföra autokorrelation i störningsvillkoren. Misspecification En regression kommer ofta att visa tecken på autokorrelation när det finns utelämnade variabler. Eftersom den saknade oberoende variabeln nu existerar i störningsperioden, får vi en störnings term som ser ut som: t 2 X 2 ut beta X u när den korrekta specifikationen är Y t 0 1 X 1 2 X 2 ut beta beta X beta X u Konsekvenser av autokorrelationsredigering Huvudproblemet med autokorrelation är att det kan få en modell att se bättre ut än den faktiskt är. Lista över konsekvenser Redigera koefficienter är fortfarande opartiska E (t) 0. c o v (X t. U t) 0) 0, cov (X, u) 0 Verklig varians av ökas, genom närvaron av autokorrelationer. Beräknad varians av är mindre på grund av autokorrelation (förspänd nedåt). En minskning av s e ()) och en ökning av t-statistiken resulterar i att estimatorn ser mer exakt ut än vad den egentligen är. R blir uppblåst. Alla dessa problem resulterar i att hypotesprov blir ogiltiga. Autokorrelation i data. 2 körningar, men den verkliga OLS, som vi aldrig hittat, är någonstans i mitten. Testning för autokorrelation Redigera Medan det inte är avgörande kan man få ett intryck genom att titta på en graf av den beroende variabeln mot felperioden (nämligen en återstående scatter-plot). Durbin-Watson-testet: Antag tt 1 ut epsilon rho u Test H (0): 0 (ingen AC) mot H (1): gt 0 (engångstest) Teststatistik DW (tt 1) ​​2 2 2 2 - epsilon ) 2-2rho Något värde under D (L) (i DW-tabellen) avvisar nollhypotesen och AC existerar. Något värde mellan D (L) och D (W) lämnar oss utan slutsats av AC. Något värde större än D (W) accepterar nollhypotesen och AC existerar inte. Observera, detta är ett svansprov. För att få den andra svansen. Använd 4 - DW som teststat istället. A RIMA står för autoregressiva integrerade rörliga genomsnittsmodeller. Univariate (single vector) ARIMA är en prognosteknik som projekterar framtida värden för en serie baserad helt på egen tröghet. Dess huvudsakliga tillämpning är inom området för prognoser på kort sikt som kräver minst 40 historiska datapunkter. Det fungerar bäst när dina data uppvisar ett stabilt eller konsekvent mönster över tiden med ett minimum av outliers. Ibland kallas Box-Jenkins (efter de ursprungliga författarna), är ARIMA vanligtvis överlägsen exponentiell utjämningsteknik när data är rimligt långa och korrelationen mellan tidigare observationer är stabil. Om data är korta eller mycket flyktiga, kan en viss utjämningsmetod fungera bättre. Om du inte har minst 38 datapunkter, bör du överväga någon annan metod än ARIMA. Det första steget i att tillämpa ARIMA-metodiken är att kontrollera stationäriteten. Stationäritet innebär att serien förblir på en ganska konstant nivå över tiden. Om det finns en trend, som i de flesta ekonomiska eller affärsapplikationer, är dina data INTE stationära. Uppgifterna bör också visa en konstant varians i sina fluktuationer över tiden. Detta syns lätt med en serie som är väldigt säsongsbetonad och växer i snabbare takt. I så fall blir uppgångarna och nedgångarna i säsongsalden mer dramatiska över tiden. Utan att dessa stationära förhållanden är uppfyllda kan många av beräkningarna som hör samman med processen inte beräknas. Om en grafisk del av data indikerar icke-stationaritet, bör du skilja på serien. Differentiering är ett utmärkt sätt att omvandla en icke-stationär serie till en stationär. Detta görs genom att subtrahera observationen under den aktuella perioden från föregående. Om denna omvandling görs bara en gång till en serie, säger du att uppgifterna först har skiljats. Denna process eliminerar i huvudsak trenden om din serie växer med en ganska konstant takt. Om den växer i ökande takt kan du tillämpa samma procedur och skillnad data igen. Dina uppgifter skulle då bli annorlunda. Autokorrelationer är numeriska värden som indikerar hur en dataserie är relaterad till sig själv över tiden. Närmare bestämt mäter det hur starkt datavärdena vid ett visst antal perioder från varandra är korrelerade med varandra över tiden. Antalet perioder ibland kallas vanligtvis lagret. Till exempel mäter en autokorrelation vid lag 1 hur värdena 1 period från varandra korreleras med varandra i serien. En autokorrelation vid lag 2 mäter hur data två perioder från varandra korreleras genom hela serien. Autokorrelationer kan sträcka sig från 1 till -1. Ett värde nära 1 indikerar en hög positiv korrelation medan ett värde nära -1 innebär en hög negativ korrelation. Dessa åtgärder utvärderas oftast genom grafiska tomter som kallas korrelagram. Ett korrelagram plottar autokorrelationsvärdena för en given serie i olika lags. Detta kallas autokorrelationsfunktionen och är mycket viktigt i ARIMA-metoden. ARIMA-metodiken försöker beskriva rörelserna i en stationär tidsserie som en funktion av vad som kallas autoregressiva och rörliga medelparametrar. Dessa kallas AR parametrar (autoregessiva) och MA parametrar (glidande medelvärden). En AR-modell med endast 1 parameter kan skrivas som. X (t) A (1) X (t-1) E (t) där X (t) tidsserier under utredning A (1) den autoregressiva parametern i ordning 1 X (t-1) (T) modellens felperiod Detta betyder helt enkelt att vilket givet värde X (t) som kan förklaras med någon funktion av dess tidigare värde, X (t-1), plus något oförklarligt slumpmässigt fel, E (t). Om det uppskattade värdet av A (1) var .30, skulle nuvärdet av serien vara relaterat till 30 av dess värde 1 period sedan. Naturligtvis kan serien vara relaterad till mer än bara ett tidigare värde. Exempelvis X (t) A (1) X (t-1) A (2) X (t-2) E (t) Detta indikerar att serievärdet är en kombination av de två omedelbart föregående värdena, X (t-1) och X (t-2), plus något slumpmässigt fel E (t). Vår modell är nu en autoregressiv modell av ordning 2. Flytta genomsnittliga modeller: En andra typ av Box-Jenkins-modell kallas en glidande genomsnittsmodell. Även om dessa modeller ser mycket ut som AR-modellen är konceptet bakom dem ganska annorlunda. Flytta genomsnittsparametrar relaterar vad som händer i period t endast till de slumpmässiga fel som inträffade under tidigare tidsperioder, dvs E (t-1), E (t-2) osv. Snarare än till X (t-1), X T-2), (Xt-3) som i de autoregressiva tillvägagångssätten. En glidande medelmodell med en MA-term kan skrivas enligt följande. X (t) - B (1) E (t-1) E (t) Termen B (1) kallas en MA i ordning 1. Negativt tecken framför parametern används endast för konventionen och skrivs vanligtvis Ut automatiskt efter de flesta datorprogram. Ovanstående modell säger helt enkelt att ett givet värde av X (t) är direkt relaterat till det slumpmässiga felet i föregående period, E (t-1) och till den aktuella feltermen E (t). Som i fråga om autregressiva modeller kan de rörliga genomsnittsmodellerna utvidgas till högre orderstrukturer som täcker olika kombinationer och glidande medellängder. ARIMA-metoden möjliggör också att modeller ska byggas som innehåller både autoregressiva och rörliga genomsnittsparametrar tillsammans. Dessa modeller kallas ofta blandade modeller. Även om detta ger ett mer komplicerat prognosverktyg kan strukturen verkligen simulera serien bättre och ge en mer exakt prognos. Rena modeller innebär att strukturen bara består av AR eller MA parametrar - inte båda. Modellerna som utvecklas genom detta tillvägagångssätt kallas vanligen ARIMA-modeller eftersom de använder en kombination av autoregressiv (AR), integration (I) - hänvisar till omvänd process för differentiering för att producera prognosen och rörliga genomsnittliga (MA) - operationer. En ARIMA-modell anges vanligtvis som ARIMA (p, d, q). Detta representerar ordningen för de autoregressiva komponenterna (p), antalet differentieringsoperatörer (d) och den högsta ordningen av den glidande medelfristen. Till exempel betyder ARIMA (2,1,1) att du har en andra ordning med automatisk reglering med en första ordning med rörlig medelkomponent vars serie har avvikits en gång för att inducera stationäritet. Plocka rätt specifikation: Det största problemet i klassiska Box-Jenkins försöker bestämma vilken ARIMA-specifikation som ska användas - i. e. Hur många parametrar för AR och MA som ska ingå. Det är så mycket av Box-Jenkings 1976 som ägnades åt identifieringsprocessen. Det berodde på grafisk och numerisk utvärdering av provautokorrelationen och partiella autokorrelationsfunktioner. Tja, för dina grundläggande modeller är uppgiften inte för svår. Var och en har autokorrelationsfunktioner som ser på ett visst sätt. Men när du går upp i komplexitet är mönstren inte så lätt detekterade. För att göra saker svårare representerar dina data bara ett urval av den underliggande processen. Det betyder att provtagningsfel (avvikare, mätfel etc.) kan snedvrida den teoretiska identifieringsprocessen. Det är därför som traditionell ARIMA-modellering är en konst snarare än en science.2.1 Moving Average Models (MA-modeller) Tidsseriemodeller som kallas ARIMA-modeller kan innefatta autoregressiva termer och eller rörliga genomsnittsvillkor. I vecka 1 lärde vi oss en autoregressiv term i en tidsseriemodell för variabeln x t är ett fördröjt värde av x t. Till exempel är en lag 1-autoregressiv term x t-1 (multiplicerad med en koefficient). Denna lektion definierar glidande medelvärden. En glidande medelfrist i en tidsseriemodell är ett tidigare fel (multiplicerat med en koefficient). Låt (wt overset N (0, sigma2w)), vilket betyder att wt är identiskt oberoende fördelat, var och en med en normal fördelning med medelvärde 0 och samma varians. Den första ordningens rörliga genomsnittsmodell, betecknad med MA (1) är (xt mu wt theta1w) Den andra ordens rörliga genomsnittsmodellen, betecknad med MA (2) är (xt mu wt theta1w theta2w) , Betecknad med MA (q) är (xt mu wt theta1w theta2w punkter thetaqw) Not. Många läroböcker och programvara definierar modellen med negativa tecken före villkoren. Detta ändrar inte de allmänna teoretiska egenskaperna hos modellen, även om den vrider de algebraiska tecknen på uppskattade koefficientvärden och (unsquared) termer i formler för ACF och variationer. Du måste kontrollera din programvara för att kontrollera om negativa eller positiva tecken har använts för att korrekt beräkna den beräknade modellen. R använder positiva tecken i sin underliggande modell, som vi gör här. Teoretiska egenskaper hos en tidsserie med en MA (1) modell Observera att det enda nonzero-värdet i teoretisk ACF är för lag 1. Alla andra autokorrelationer är 0. Således är ett prov ACF med en signifikant autokorrelation endast vid lag 1 en indikator på en möjlig MA (1) modell. För intresserade studenter är bevis på dessa egenskaper en bilaga till denna handout. Exempel 1 Antag att en MA (1) modell är x t10 w t, 7 w t-1. Var (överskridande N (0,1)). Således är koefficienten 1 0,7. Den teoretiska ACF ges av En plot av denna ACF följer. Den visade ploten är den teoretiska ACF för en MA (1) med 1 0,7. I praktiken ger ett prov vanligtvis vanligtvis ett så tydligt mönster. Med hjälp av R simulerade vi n 100 provvärden med hjälp av modellen x t 10 w t .7 w t-1 där W t iid N (0,1). För denna simulering följer en tidsserieplot av provdata. Vi kan inte berätta mycket från denna plot. Provet ACF för den simulerade data följer. Vi ser en spik vid lag 1 följt av allmänt icke-signifikanta värden för lags över 1. Observera att provet ACF inte matchar det teoretiska mönstret för den underliggande MA (1), vilket är att alla autokorrelationer för lags över 1 kommer att vara 0 . Ett annat prov skulle ha en något annorlunda prov ACF som visas nedan, men skulle troligen ha samma breda funktioner. Terapeutiska egenskaper hos en tids serie med en MA (2) modell För MA (2) modellen är teoretiska egenskaper följande: Observera att de enda nonzero-värdena i teoretisk ACF är för lags 1 och 2. Autokorrelationer för högre lags är 0 . En ACF med signifikanta autokorrelationer vid lags 1 och 2, men icke-signifikanta autokorrelationer för högre lags indikerar en möjlig MA (2) modell. Iid N (0,1). Koefficienterna är 1 0,5 och 2 0,3. Eftersom det här är en MA (2), kommer den teoretiska ACF endast att ha nonzero-värden endast vid lags 1 och 2. Värdena för de två icke-oberoende autokorrelationerna är A-plot av den teoretiska ACF följer. Såsom nästan alltid är fallet kommer provdata inte att verka så perfekt som teori. Vi simulerade n 150 provvärden för modellen x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. Var vet N (0,1). Tidsserierna av data följer. Som med tidsserien för MA (1) provdata kan du inte berätta mycket för det. Provet ACF för den simulerade data följer. Mönstret är typiskt för situationer där en MA (2) modell kan vara användbar. Det finns två statistiskt signifikanta spikar vid lags 1 och 2 följt av icke-signifikanta värden för andra lags. Observera att provet ACF på grund av provtagningsfel inte exakt matchade det teoretiska mönstret. ACF för General MA (q) Modeller En egenskap hos MA (q) modeller är generellt att det finns icke-oberoende autokorrelationer för de första q-lagsna och autokorrelationerna 0 för alla lags gt q. Icke-unikhet av samband mellan värden på 1 och (rho1) i MA (1) Modell. I MA (1) - modellen, för något värde av 1. Den ömsesidiga 1 1 ger samma värde. Använd exempelvis 0,5 för 1. Och använd sedan 1 (0,5) 2 för 1. Du får (rho1) 0,4 i båda fallen. För att tillfredsställa en teoretisk restriktion kallad invertibility. Vi begränsar MA (1) - modellerna till att ha värden med absolutvärdet mindre än 1. I exemplet just givet är 1 0,5 ett tillåtet parametervärde, medan 1 10,5 2 inte kommer att. Omvändbarhet av MA-modeller En MA-modell sägs vara omvändbar om den är algebraiskt ekvivalent med en konvergerande oändlig ordning AR-modell. Genom att konvergera menar vi att AR-koefficienterna minskar till 0 när vi flyttar tillbaka i tiden. Omvändbarhet är en begränsning programmerad i tidsserierprogramvara som används för att uppskatta koefficienterna för modeller med MA-termer. Det är inte något vi söker efter i dataanalysen. Ytterligare information om invertibilitetsbegränsningen för MA (1) - modeller ges i bilagan. Avancerad teorinotation. För en MA (q) modell med en specificerad ACF finns det bara en inverterbar modell. Det nödvändiga villkoret för invertibilitet är att koefficienterna har värden så att ekvationen 1- 1 y-. - q y q 0 har lösningar för y som faller utanför enhetens cirkel. R-kod för exemplen I exempel 1 ritade vi den teoretiska ACF av modellen x t10 wt. 7w t-1. Och sedan simulerade n 150 värden från denna modell och ritade provtidsserierna och provet ACF för de simulerade data. R-kommandona användes för att plotta den teoretiska ACF: acfma1ARMAacf (mac (0.7), lag. max10) 10 satser av ACF för MA (1) med theta1 0,7 lags0: 10 skapar en variabel som heter lags som sträcker sig från 0 till 10. plot (Lags, acfma1, xlimc (1,10), ylabr, typh, huvud ACF för MA (1) med theta1 0,7) abline (h0) lägger till en horisontell axel till plottet Det första kommandot bestämmer ACF och lagrar det i ett objekt Namnet acfma1 (vårt val av namn). Plot-kommandot (3: e kommandot) tomter jämförs med ACF-värdena för lags 1 till 10. ylab-parametern markerar y-axeln och huvudparametern lägger en titel på plottet. För att se de numeriska värdena för ACF använder du bara kommandot acfma1. Simuleringen och tomterna gjordes med följande kommandon. Xcarima. sim (n150, lista (mac (0.7))) Simulerar n 150 värden från MA (1) xxc10 lägger till 10 för att göra medelvärdet 10. Simulering standardvärden betyder 0. plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) data) Acf (x, xlimc (1,10), mainACF för simulerad provdata) I exempel 2 ritade vi teoretisk ACF av modellen xt 10 wt5 w t-1, 3 w t-2. Och sedan simulerade n 150 värden från denna modell och ritade provtidsserierna och provet ACF för de simulerade data. De R-kommandon som användes var acfma2ARMAacf (mac (0,5,0,3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 plot (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typh, huvud ACF för MA (2) med theta1 0,5, Theta20.3) abline (h0) xcarima. sim (n150, lista (mac (0,5, 0,3)) xxc10 plot (x, typeb, huvudsimulerad MA (2) serie) acf (x, xlimc (1,10) MainACF för simulerade MA (2) data) Bilaga: Bevis på egenskaper hos MA (1) För intresserade studenter, här är bevis för teoretiska egenskaper för MA (1) modellen. Varians: (text (xt) text (mu wt theta1 w) 0 text (wt) text (theta1w) sigma2w theta21sigma2w (1theta21) sigma2w) När h 1, föregående uttryck 1 w 2. För varje h 2, föregående uttryck 0 . Orsaken är att, per definition av vägtons oberoende. E (w k w j) 0 för någon k j. Vidare, eftersom w t har medelvärdet 0, E (wjwj) E (wj2) w2. För en tidsserie, Applicera detta resultat för att få ACF ges ovan. En inverterbar MA-modell är en som kan skrivas som en oändlig ordning AR-modell som konvergerar så att AR-koefficienterna konvergerar till 0 när vi rör sig oändligt tillbaka i tiden. Visa väl omvändbarhet för MA (1) modellen. Vi ersätter sedan förhållandet (2) för w t-1 i ekvation (1) (3) (zt wt theta1 (z-tetww) wt theta1z-tet2w) Vid tid t-2. Ekvation (2) blir vi då ersättningsförhållande (4) för w t-2 i ekvation (3) (zt wt theta1z-teteta21w wt theta1z-teteta21 (z-tetww) wt theta1z-theta12z theta31w) Om vi ​​skulle fortsätta Oändligt), skulle vi få oändlig ordning AR-modellen (zt wt theta1z-theta21z theta31z-tetaka41z punkter) Observera dock att om koefficienterna som multiplicerar lagren av z ökar (oändligt) i storlek när vi flyttar tillbaka i tid. För att förhindra detta behöver vi 1 lt1. Detta är förutsättningen för en inverterbar MA (1) modell. Oändlig ordning MA-modell I vecka 3 ser du att en AR (1) - modell kan konverteras till en oändlig ordning MA-modell: (xt - mu wt phi1w phi21w prickar phik1 w dots sum phij1w) Denna summering av tidigare vita ljudvillkor är känd Som kausalrepresentation av en AR (1). Med andra ord är x t en speciell typ av MA med ett oändligt antal termer som går tillbaka i tiden. Detta kallas en oändlig ordning MA eller MA (). En ändlig ordning MA är en oändlig ordning AR och någon ändlös ordning AR är en oändlig ordning MA. Minns i vecka 1 noterade vi att ett krav på en stationär AR (1) är att 1 lt1. Låt beräkna Var (x t) med hjälp av kausalrepresentationen. Det här sista steget använder ett grundläggande faktum om geometriska serier som kräver (phi1lt1) annars skiljer serien. Navigering